転がりと摩擦力の配分　　　　　　　　　　
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玉が転がっているときエネルギーは順次失われ減速、停止する。この間、併進エネルギーと回転エネルギーが同率で失われるとしなければならない。
従って、玉に働くころがり摩擦力は２つのエネルギーの比に分けなければならない。

　　　　　　F_{1}：　併進エネルギーを減少させる力
　　　　　　F_{2}：　回転エネルギーを減少させる力
　　　　　　F ：　ころがり摩擦力
　　　　　　\mu ：　転がり摩擦係数

　　　質量：m　　　半径：r　　慣性モーメント：I　
　　　併進速度：v　　角速度：\omega　　　　重力加速度：g

とすると

　　　　F=F_{1}+F_{2}
　　　　F=\mu mg
　　　　v=r\omega

　　　　m\displaystyle \frac{dv}{dt}=-F_{1} 
　　　　I\displaystyle \frac{d\omega}{dt}=-rF_{2}
　　　　mr\displaystyle \frac{d\omega}{dt}=-F_{1}
　　　　\displaystyle \frac{2mr}{5}\frac{d\omega}{dt}=-F_{2}  


　 ∴　　 \displaystyle \frac{F_{1}}{F_{2}} =\frac{5}{2}
　　∴　　　F_{1}=\displaystyle \frac{5}{7}\mu mg
　　　　F_{2}=\displaystyle \frac{2}{7}\mu mg
となる。
初速度v_{0}で転がる玉が停止するまでのエネルギー収支を確認する。
vについて解くと

　　　　　v=-\displaystyle \frac{F_{1}}{m}t =v_{0}-\frac{5}{7}\mu gt
止まるまでの時間t_{1}は、v=0として
　　　　　t_{1}=\displaystyle \frac{7v_{0}}{5\mu g}
止まるまでの距離s_{1}は
　　　　　s_{1}=\displaystyle \int vdt =v_{0}t_{1}-\frac{5}{14}\mu gt_{1}^{2} =\frac{7v_{0}}{5\mu g}(v_{0}-\frac{5}{14}\mu g\frac{7v_{0}}{5\mu g}) =\frac{7v_{0}^{2}}{10\mu g}
初期エネルギーと止まるまでの消費エネルギーを確認しておく。
なした仕事量Wは
　　　　　W=Fs_{1} =\displaystyle \mu mg\times\frac{7v_{0}^{2}}{10\mu g} =\frac{7}{10}mv_{0}^{2}
一方、初期エネルギーE_{0}は初期の併進と回転のエネルギーの和であるので
　　　　　E_{0}=E_{1}+E_{2} =\displaystyle \frac{1}{2}mv_{0}^{2}+\frac{1}{2}I\omega^{2} =\frac{1}{2}mv_{0}^{2}+\frac{1}{2}\frac{5}{2mv_{0}^{2}}\omega^{2} =\frac{1}{2}mv_{0}^{2}+\frac{1}{5}mv_{0}^{2}
　　　　　　 =\displaystyle \frac{7}{10}mv_{0}^{2}
初期エネルギーE_{0}とその間の仕事量Wが一致し、初期のF_{1}とF_{2}の設定は正しい。
　　　　　　　　　　　　　　　　以上

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